Phase 00 - Lesson 23

Notacao de Somatorio

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O grande Sigma grego nao e assustador. E uma abreviacao para "some uma lista", com um contador que diz onde comecar e onde parar.

Tipo: Aprender Linguagens: Python Pre-requisitos: Potencias e Expoentes (00-17) Tempo: ~35 minutos

Objetivos de Aprendizagem

Ler o simbolo Sigma e suas partes de inicio, fim e termo
Expandir um somatorio na adicao simples que ele representa
Calcular uma soma pequena a mao
Reconhecer o produto escalar como uma soma de produtos, a primeira formula da Fase 1

O Conceito

Voce ja conhece a adicao. A notacao de somatorio e apenas uma forma compacta de escrever uma adicao longa sem digitar cada termo.

O Sigma e um laco que voce escreve no papel

O simbolo e o S maiusculo grego, escrito como Sigma. Em texto simples escreveremos sum. Um somatorio completo tem quatro partes:

        fim
        ___
        \
        /     termo(i)
        ---
        i = inicio

Leia como: "para o contador i indo de inicio ate fim, calcule termo(i), e some todos esses termos." E exatamente um laco que acumula um total, escrito em um simbolo.

Expandindo uma soma

A forma honesta de entender qualquer Sigma e escrever o que ele representa. Tome:

soma de i=1 a 4 de i      =  1 + 2 + 3 + 4  =  10

O contador i caminha 1, 2, 3, 4, e a cada passo o termo e simplesmente o proprio i. Some: 10. Esse e todo o truque. Outro, onde o termo eleva o contador ao quadrado:

soma de i=1 a 3 de i^2    =  1^2 + 2^2 + 3^2  =  1 + 4 + 9  =  14

O contador ainda caminha 1, 2, 3, mas agora cada termo e i^2 (usando as potencias da licao 00-17). Expanda primeiro, depois some.

Somando uma lista

Na maioria das vezes o termo puxa o valor da posicao i de uma lista. Se a = [10, 20, 30], entao com i percorrendo as posicoes:

soma de a[i]  =  a[1] + a[2] + a[3]  =  10 + 20 + 30  =  60

O Sigma apenas diz "some cada elemento da lista".

Exemplo resolvido: o produto escalar

E aqui que isto chega. A primeira formula da Fase 1 (a fase de fundamentos de matematica) e o produto escalar de duas listas de numeros a e b:

a . b  =  soma de (a[i] x b[i])

Em palavras: caminhe pelas duas listas juntas, multiplique cada par a[i] x b[i], e some todos esses produtos. Com a = [1, 2, 3] e b = [4, 5, 6]:

a . b  =  (1 x 4) + (2 x 5) + (3 x 6)  =  4 + 10 + 18  =  32

E isso. O produto escalar e uma soma de produtos, e "soma de produtos" e exatamente o que a notacao Sigma empacota em um simbolo. Toda rede neural multiplica e soma bilhoes desses. A notacao que voce acabou de aprender e a lingua em que todo esse campo e escrito.

Pratica de memoria

Produza a resposta. Mais facil primeiro.

Expanda e calcule soma de i=1 a 3 de i.
Calcule soma de i=1 a 3 de i^2.
Para a = [1, 2, 3] e b = [4, 5, 6], calcule o produto escalar soma de a[i] x b[i].

Respostas: 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 4 + 9 = 14; 4 + 10 + 18 = 32.

Alerta de equivoco

A armadilha e tratar o Sigma como uma unica operacao misteriosa em vez de um laco que voce sempre pode expandir. Quando uma soma confundir voce, escreva cada termo do jeito longo e some a mao. A notacao e abreviacao para a adicao comum; ela nunca faz nada que voce nao pudesse fazer com + e paciencia. Tambem observe os limites de inicio e fim: "i de 1 a 4" inclui tanto 1 quanto 4, entao sao quatro termos, nao tres.

Construa

python phases/00-setup-and-tooling/23-summation-notation/code/summation.py

Por que isso importa para IA

Somatorio e o simbolo mais comum na matematica de aprendizado de maquina. Funcoes de perda sao somas sobre exemplos de treinamento. O produto escalar, soma de produtos, e o nucleo de toda multiplicacao de matrizes, que e o nucleo de toda camada de toda rede. Quando voce chegar a Fase 1 e ver a . b = soma a_i b_i na primeira linha, vai ler como adicao simples de produtos, porque voce construiu o Sigma a partir das quatro operacoes voce mesmo.