Phase 00 - Lesson 23

Notacion de Sumatoria

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La gran Sigma griega no da miedo. Es una abreviatura para "suma una lista", con un contador que dice donde empezar y donde parar.

Tipo: Aprender Lenguajes: Python Requisitos previos: Potencias y Exponentes (00-17) Tiempo: ~35 minutos

Objetivos de Aprendizaje

• Leer el simbolo Sigma y sus partes de inicio, fin y termino
• Expandir una sumatoria en la suma simple que representa
• Calcular una suma pequena a mano
• Reconocer el producto punto como una suma de productos, la primera formula de la Fase 1

El Concepto

Ya conoces la suma. La notacion de sumatoria es solo una forma compacta de escribir una suma larga sin teclear cada termino.

La Sigma es un bucle que escribes en papel

El simbolo es la S mayuscula griega, escrita como Sigma. En texto simple escribiremos sum. Una sumatoria completa tiene cuatro partes:

        fin
        ___
        \
        /     termino(i)
        ---
        i = inicio

Leelo como: "para el contador i yendo de inicio hasta fin, calcula termino(i), y suma todos esos terminos." Es exactamente un bucle que acumula un total, escrito en un simbolo.

Expandiendo una suma

La forma honesta de entender cualquier Sigma es escribir lo que representa. Toma:

suma de i=1 a 4 de i      =  1 + 2 + 3 + 4  =  10

El contador i camina 1, 2, 3, 4, y en cada paso el termino es simplemente el propio i. Suma: 10. Ese es todo el truco. Otro, donde el termino eleva el contador al cuadrado:

suma de i=1 a 3 de i^2    =  1^2 + 2^2 + 3^2  =  1 + 4 + 9  =  14

El contador todavia camina 1, 2, 3, pero ahora cada termino es i^2 (usando las potencias de la leccion 00-17). Expande primero, luego suma.

Sumando una lista

La mayoria de las veces el termino saca el valor de la posicion i de una lista. Si a = [10, 20, 30], entonces con i recorriendo las posiciones:

suma de a[i]  =  a[1] + a[2] + a[3]  =  10 + 20 + 30  =  60

La Sigma solo dice "suma cada elemento de la lista".

Ejemplo resuelto: el producto punto

Aqui es donde aterriza esto. La primera formula de la Fase 1 (la fase de fundamentos de matematica) es el producto punto de dos listas de numeros a y b:

a . b  =  suma de (a[i] x b[i])

En palabras: camina por ambas listas juntas, multiplica cada par a[i] x b[i], y suma todos esos productos. Con a = [1, 2, 3] y b = [4, 5, 6]:

a . b  =  (1 x 4) + (2 x 5) + (3 x 6)  =  4 + 10 + 18  =  32

Eso es. El producto punto es una suma de productos, y "suma de productos" es exactamente lo que la notacion Sigma empaqueta en un simbolo. Toda red neuronal multiplica y suma miles de millones de estos. La notacion que acabas de aprender es el lenguaje en que todo ese campo esta escrito.

Recuerdo activo

Produce la respuesta. Lo mas facil primero.

1. Expande y calcula suma de i=1 a 3 de i.
2. Calcula suma de i=1 a 3 de i^2.
3. Para a = [1, 2, 3] y b = [4, 5, 6], calcula el producto punto suma de a[i] x b[i].

Respuestas: 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 4 + 9 = 14; 4 + 10 + 18 = 32.

Alerta de error comun

La trampa es tratar la Sigma como una unica operacion misteriosa en lugar de un bucle que siempre puedes expandir. Cuando una suma te confunda, escribe cada termino de la forma larga y sumalos a mano. La notacion es abreviatura de la suma ordinaria; nunca hace nada que no pudieras hacer con + y paciencia. Tambien observa los limites de inicio y fin: "i de 1 a 4" incluye tanto 1 como 4, asi que son cuatro terminos, no tres.

Construyelo

python phases/00-setup-and-tooling/23-summation-notation/code/summation.py

Por que esto importa para la IA

La sumatoria es el simbolo mas comun en la matematica del aprendizaje automatico. Las funciones de perdida son sumas sobre ejemplos de entrenamiento. El producto punto, suma de productos, es el nucleo de toda multiplicacion de matrices, que es el nucleo de toda capa de toda red. Cuando llegues a la Fase 1 y veas a . b = suma a_i b_i en la primera linea, se leera como suma simple de productos, porque construiste la Sigma a partir de las cuatro operaciones tu mismo.