Phase 00 - Lesson 19

Raices y Cuadrados

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Una raiz es el giro del conteo de una potencia. Una raiz cuadrada pregunta: que numero, multiplicado por si mismo, da esto?

Tipo: Aprender Lenguajes: Python Requisitos previos: Potencias y Exponentes (00-17) Tiempo: ~35 minutos

Objetivos de Aprendizaje

• Leer una raiz cuadrada como el inverso de elevar al cuadrado
• Estimar sqrt(2) y saber que es cerca de 1.414
• Conectar un exponente fraccionario como 2^1.5 a una raiz (es 2 x sqrt(2))
• Calcular la longitud de un vector pequeno con la formula de Pitagoras

El Concepto

En la leccion 00-16 conociste el giro del conteo: toda operacion tiene un inverso que la ejecuta al reves. Una raiz es el inverso de una potencia.

Elevar al cuadrado y su inverso

Elevar al cuadrado un numero es elevarlo a la potencia 2, que es multiplicarlo por si mismo:

3^2 = 3 x 3 = 9     "3 al cuadrado es 9"

La raiz cuadrada ejecuta eso al reves. Pregunta: "que numero, multiplicado por si mismo, da 9?"

sqrt(9) = 3     porque 3 x 3 = 9

El simbolo sqrt(x) (el signo radical) significa "la raiz cuadrada de x". Elevar al cuadrado y sacar la raiz se deshacen mutuamente, exactamente como + y -, o x y /.

4^2 = 16    <-->    sqrt(16) = 4
5^2 = 25    <-->    sqrt(25) = 5

No toda raiz es un numero entero

sqrt(9) = 3 es limpio porque 9 es un cuadrado perfecto. Pero que es sqrt(2)? No hay numero entero que elevado al cuadrado de 2: 1 x 1 = 1 (muy pequeno) y 2 x 2 = 4 (muy grande). Asi que sqrt(2) vive entre 1 y 2. Su valor es:

sqrt(2) = 1.41421...   cerca de 1.414

Verificalo: 1.414 x 1.414 = 1.9994, justo por debajo de 2. Este es uno de los numeros mas comunes en todo el aprendizaje automatico.

Una raiz es un exponente fraccionario

Aqui esta el puente de vuelta a la leccion 00-17. Una raiz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2:

sqrt(2) = 2^(1/2) = 2^0.5 = 1.414

Eso parece extrano, pero se sigue de las reglas de los exponentes: 2^0.5 x 2^0.5 = 2^(0.5+0.5) = 2^1 = 2, asi que 2^0.5 es la cosa que elevada al cuadrado da 2, que es la raiz cuadrada. Esto desbloquea los exponentes fraccionarios en general. Por ejemplo:

2^1.5 = 2^1 x 2^0.5 = 2 x sqrt(2) = 2 x 1.414 = 2.83

Guarda 2^1.5 = 2 x sqrt(2) = 2.83. La leccion clave del logaritmo (00-20) usa exactamente ese hecho para explicar un numero que sorprende a todos.

Ejemplo resuelto: la longitud de un vector

Un vector con componentes 3 y 2 es una flecha que va 3 a la derecha y 2 hacia arriba. Su longitud se encuentra con la idea de Pitagoras: eleva al cuadrado cada componente, suma, luego saca la raiz cuadrada.

longitud = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13) = 3.606

Observa el orden de las operaciones de la leccion 00-13: las potencias ocurren primero, luego la suma dentro de la raiz, luego la raiz al final. Ese patron sqrt(suma de cuadrados) es como se calcula toda distancia y toda magnitud de vector en este curso.

Recuerdo activo

Produce la respuesta. Lo mas facil primero.

1. sqrt(25) = ?
2. sqrt(2) es cerca de ?
3. sqrt(3^2 + 4^2) = ?

Respuestas: 5; cerca de 1.414; 5 (sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5).

Alerta de error comun

La trampa es leer sqrt(a + b) como sqrt(a) + sqrt(b). No son iguales. sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5, pero sqrt(9) + sqrt(16) = 3 + 4 = 7. La raiz se aplica a la suma completa de una vez, despues de que la suma interna esta hecha. El signo radical actua como un par invisible de parentesis.

Construyelo

python phases/00-setup-and-tooling/19-roots-and-squares/code/roots.py

Por que esto importa para la IA

Longitud de vector, distancia entre embeddings, la normalizacion dentro de la atencion, el factor de escala 1/sqrt(d) en transformers, la raiz en la normalizacion raiz-media-cuadratica: todos son raices cuadradas. El patron sqrt(suma de cuadrados) es la operacion geometrica mas comun en el aprendizaje profundo, y la vista de exponente fraccionario (x^0.5) es lo que permite a la proxima leccion explicar el numero "1.58-bit" con precision.